इस गणितज्ञ की 'मिस्टीरियस' नई विधि जस्ट 30 साल पुरानी समस्या को हल करती है

एक गणितज्ञ ने गणित और कंप्यूटर विज्ञान के बीच सीमा पर 30 साल पुरानी समस्या को हल किया है। उन्होंने एक अभिनव, सुरुचिपूर्ण प्रमाण का उपयोग किया, जिसमें उनके सहयोगियों ने अपनी सादगी पर ध्यान दिया।

अटलांटा में एमोरी विश्वविद्यालय में गणित के सहायक प्रोफेसर हाओ हुआंग ने एक गणितीय विचार साबित किया, जिसे संवेदनशीलता अनुमान कहा जाता है, जो अविश्वसनीय रूप से मोटे शब्दों में, यह दावा करता है कि आप आउटपुट को बदले बिना किसी फ़ंक्शन के इनपुट को कितना बदल सकते हैं इसकी संवेदनशीलता है)।

दशकों के बाद से गणितज्ञों ने पहली बार संवेदनशीलता अनुमान (इसे साबित किए बिना) का प्रस्ताव दिया, सैद्धांतिक कंप्यूटर वैज्ञानिकों ने महसूस किया कि सूचना को संसाधित करने के सबसे कुशल तरीकों को निर्धारित करने के लिए इसके बड़े निहितार्थ हैं।

इस क्षेत्र के अन्य विशेषज्ञों के अनुसार, हुआंग के प्रमाण के बारे में उल्लेखनीय बात यह है कि हुआंग ने इसे बंद नहीं किया, बल्कि सुरुचिपूर्ण और सरल तरीके से किया, जिसमें उन्होंने ऐसा किया। उनके प्रमाण को आधिकारिक रूप से किसी भी गणित पत्रिका में समीक्षा या प्रकाशित नहीं किया गया है। लेकिन जल्द ही हुआंग ने 1 जुलाई को ऑनलाइन डाल दिया, उनके सहयोगियों ने जल्दी से इसे तथ्य के रूप में स्वीकार कर लिया।

ऑस्टिन के सैद्धांतिक कंप्यूटर वैज्ञानिक स्कॉट आरोनसन ने टेक्सास में लिखा है, "जब भी इस तरह की कोई घोषणा होती है, तो अपने ब्लॉग पर लिखते हैं," ~ 99% समय या तो प्रमाण गलत है, या किसी भी दर पर बाहरी लोगों के लिए इसका मूल्यांकन करना बहुत जटिल है जल्दी से। यह शेष 1% मामलों में से एक है। मुझे भरोसा है कि सबूत सही है। क्यों? क्योंकि मैंने इसे पढ़ा और समझा। इसमें मुझे लगभग आधे घंटे का समय लगा। "

रयान ओ'डॉनेल, एक कंप्यूटर विज्ञान के प्रोफेसर, जो पिट्सबर्ग में कार्नेगी मेलन विश्वविद्यालय में संख्या सिद्धांत का अध्ययन करते हैं, ने बताया कि हुआंग के प्रमाण को एक ही ट्वीट में अभिव्यक्त किया जा सकता है:

वास्तव में हुआंग ने क्या साबित किया?

सादगी के लिए, प्रत्येक 3 यूनिट लंबे समय तक पक्षों के साथ एक 3 डी क्यूब की कल्पना करें। यदि आप इस घन को एक 3 डी समन्वय प्रणाली में रखते हैं (जिसका अर्थ है कि यह तीन दिशाओं में माप है), एक कोने में निर्देशांक (0,0,0) होंगे, इसके बगल में एक (1,0,0) हो सकता है, इसके ऊपर एक (0,1,0) और इतने पर हो सकता है। पड़ोसियों की किसी भी जोड़ी के बिना आप आधे कोने (चार कोने) ले सकते हैं: (0,0,0), (1,1,0), (1,0,1) और (0,1,1) ' t पड़ोसी। आप इसे क्यूब को देखकर दिखा सकते हैं, लेकिन हम यह भी जानते हैं क्योंकि ये सभी एक से अधिक समन्वय से भिन्न हैं।

हिब्रू विश्वविद्यालय के गणितज्ञ गिल कैलाई ने कहा कि संवेदनशीलता अनुमान लगाने के बारे में है कि जब आपके पास एक उच्च आयामी क्यूब, या हाइपरक्यूब के आधे से अधिक कोने हैं, तो आपके पास कितने पड़ोसी हैं। कलाई ने लाइव साइंस को बताया कि आप हाइपरक्यूब के निर्देशांक को 1s और 0s के स्ट्रिंग्स के रूप में लिख सकते हैं, जहां आयामों की संख्या स्ट्रिंग की लंबाई है। उदाहरण के लिए, 4D हाइपरक्यूब के लिए, 16 अलग-अलग बिंदु हैं, जिसका अर्थ है कि 1 और 0 के 16 अलग-अलग तार और चार अंक लंबे हैं।

अब हाइपरक्यूब पर आधा प्लस 1 व्यक्तिगत अंक चुनें (4 डी हाइपरक्यूब के लिए, इसका मतलब है कि कुल 16 में से नौ - या 8 + 1 - अलग-अलग अंक चुनें)।

इस छोटे सेट से, सबसे पड़ोसियों के साथ बिंदु खोजें - क्या है न्यूनतम पड़ोसियों की संख्या हो सकती है? (पड़ोसी सिर्फ एक संख्या से भिन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, 1111 और 1110 पड़ोसी हैं, क्योंकि आपको केवल एक अंक को स्वैप करना है ताकि पहला दूसरे में बदल जाए।)

हुआंग ने साबित किया कि इस कोने में अंकों की संख्या के वर्गमूल के रूप में कम से कम पड़ोसी होने चाहिए - इस मामले में, 4 का वर्गमूल - जो 2 है।

कम आयामों के लिए, आप यह बता सकते हैं कि यह केवल जाँच के द्वारा सही है। उदाहरण के लिए, पड़ोसियों के लिए क्यूब (या "स्ट्रिंग्स") पर 16 निर्देशांक की जांच करना मुश्किल नहीं है। लेकिन हर बार जब आप क्यूब में एक आयाम जोड़ते हैं, तो स्ट्रिंग्स की संख्या दोगुनी हो जाती है। तो समस्या बहुत जल्दी जांचने के लिए कठिन हो जाती है।

स्ट्रिंग्स का सेट जो 30 अंकों लंबा है - 30-आयामी क्यूब के कोनों को निर्देशांक - इसमें 1 बिलियन से अधिक विभिन्न स्ट्रिंग्स हैं, जिसका अर्थ है कि क्यूब में 1 बिलियन से अधिक कोने हैं। स्ट्रिंग्स के साथ जो 200 अंकों के होते हैं, एक novemdecillion से अधिक होते हैं। यह एक मिलियन बिलियन बिलियन बिलियन बिलियन बिलियन है, या 1 इसके बाद 60 जीरो है।

यही कारण है कि गणितज्ञों को प्रमाण पसंद हैं: वे बताते हैं कि हर मामले में कुछ सच है, न कि केवल आसान।

"अगर n एक मिलियन के बराबर है - इसका मतलब है कि हमारे पास 1 मिलियन की लंबाई है - फिर अनुमान यह है कि यदि आप 2 ^ 1,000,000-1 लेते हैं और 1 जोड़ते हैं, तो एक स्ट्रिंग है जिसमें 1,000 पड़ोसी हैं - एक मिलियन का वर्गमूल, ”कलाई ने कहा।

1988 में संवेदनशीलता के अनुमान में अंतिम प्रमुख प्रगति हुई, कलाई ने कहा, जब शोधकर्ताओं ने साबित किया कि एक स्ट्रिंग में कम से कम लघुगणक होना जरूरी है n पड़ोसियों। यह बहुत कम संख्या है; 1,000,000 का लघुगणक सिर्फ 6 है। इसलिए हुआंग के प्रमाण से पता चला है कि कम से कम 994 अन्य पड़ोसी वहां से बाहर हैं।

एक सुरुचिपूर्ण और "रहस्यमय" प्रमाण

"यह बहुत रहस्यमय है," कलाई ने हुआंग के प्रमाण के बारे में कहा। "यह 'वर्णक्रमीय विधियों' का उपयोग करता है, जो कि गणित के कई क्षेत्रों में बहुत महत्वपूर्ण विधियां हैं। लेकिन यह एक उपन्यास तरीके से वर्णक्रमीय विधियों का उपयोग करता है। यह अभी भी रहस्यमय है, लेकिन मुझे लगता है कि हम उम्मीद कर सकते हैं कि वर्णक्रमीय तरीकों का उपयोग करने का यह उपन्यास तरीका धीरे-धीरे होगा। अधिक एप्लिकेशन। "

संक्षेप में, हुआंग ने हाइपरक्यूब को पंक्तियों और स्तंभों (जिसे मैट्रिसेस कहा जाता है) में संख्याओं के सरणियों का उपयोग करके अवधारणा की। आरोनसन ने अपने ब्लॉग में लिखा, "-1 और 1 एस की असामान्य व्यवस्था के साथ मैट्रिक्स को हेरफेर करने के लिए एक पूरी तरह से अप्रत्याशित तरीके से हेरफेर किया गया है।"

हुआंग ने इस मैट्रिक्स को लिया, और उन्होंने इसे बहुत ही सरल और रहस्यमय तरीके से संशोधित किया, "कलाई ने कहा। "ऐसा लगता है कि आपके पास एक ऑर्केस्ट्रा है और वे कुछ संगीत बजाते हैं, और फिर आप कुछ खिलाड़ियों को जाने देते हैं, मुझे नहीं पता, उनके सिर पर खड़ा है, और संगीत पूरी तरह से अलग है - ऐसा कुछ।"

कलाइ ने कहा कि यह अलग संगीत अनुमान साबित करने की कुंजी है। यह रहस्यमय है, उन्होंने कहा, क्योंकि भले ही गणितज्ञ यह समझते हैं कि इस मामले में विधि ने क्यों काम किया, वे इस नए "संगीत" को पूरी तरह से नहीं समझते हैं या अन्य मामलों में यह उपयोगी या दिलचस्प हो सकता है।

"30 वर्षों तक, कोई प्रगति नहीं हुई, और फिर हाओ हुआंग ने इस समस्या को सुलझाया, और उन्हें एक बहुत ही सरल प्रमाण मिला कि इसका उत्तर वर्गमूल है n, "कलाई ने कहा।" लेकिन इन 30 वर्षों के दौरान ... लोगों ने महसूस किया कि कंप्यूटिंग के सिद्धांत में यह सवाल बहुत महत्वपूर्ण है। "

हुआंग का प्रमाण रोमांचक है क्योंकि यह कंप्यूटर विज्ञान के क्षेत्र को आगे बढ़ाता है, कलाई ने कहा। लेकिन यह भी उल्लेखनीय है क्योंकि इसने एक उपन्यास पद्धति की शुरुआत की, और गणितज्ञों को अभी भी यकीन नहीं है कि क्या हुआंग की नई विधि उन्हें पूरा करने की अनुमति दे सकती है।