"अनंत की ओर और उससे परे!"
क्या आपने भी "टॉय स्टोरी" फिल्मों से बज़ लाइटेयर के प्रसिद्ध कैचफ्रेज़ के बारे में गहराई से सोचा है? शायद ऩही। लेकिन हो सकता है कि आपने कभी-कभी रात के आसमान को देखा हो और खुद अनंत के स्वभाव के बारे में सोचा हो।
इन्फिनिटी एक अजीब अवधारणा है, एक है कि मानव मस्तिष्क के चारों ओर सीमित समझ को लपेटने में एक कठिन समय है। हम कहते हैं कि ब्रह्मांड अनंत हो सकता है, लेकिन क्या यह वास्तव में हमेशा के लिए चल सकता है? या दशमलव के बाद पाई के अंक - क्या वे वास्तव में अंतहीन रूप से चलते हैं, हमेशा हमें एक वृत्त की परिधि और त्रिज्या के बीच के अनुपात के बारे में अधिक सटीक जानकारी देते हैं? और, क्या बज़ सही हो सकता है? क्या अनंत से परे कुछ है?
इन दिमागी झुकने वाली अटकलों से निपटने के लिए, लाइव साइंस ने फिलाडेल्फिया में पेंसिल्वेनिया विश्वविद्यालय के गणितज्ञ हेनरी टोस्नर की मदद की, जो इस सवाल का जवाब देने की कोशिश करने के लिए पर्याप्त था, "क्या आप पिछले अनंत को गिन सकते हैं?" (Forewarned: यह मुश्किल हो रहा है।)
इन्फिनिटी, टॉसनर ने कहा, एक अजीब जगह पर बैठता है: ज्यादातर लोगों को ऐसा लगता है कि अवधारणा के बारे में उनके पास कुछ अंतर्ज्ञान है, लेकिन जितना अधिक वे इसके बारे में सोचते हैं, उतना ही अजीब हो जाता है।
दूसरी ओर, गणितज्ञ, अक्सर अपने आप में एक अवधारणा के रूप में अनंत के बारे में नहीं सोचते हैं, उन्होंने कहा। इसके बजाय, वे इसके कई पहलुओं पर विचार करने के लिए इसके बारे में सोचने के लिए अलग-अलग तरीके अपनाते हैं।
उदाहरण के लिए, अनंत के विभिन्न आकार हैं। स्कॉटलैंड के सेंट एंड्रयूज विश्वविद्यालय के एक इतिहास के अनुसार, 1800 के दशक के अंत में जर्मन गणितज्ञ जॉर्ज कैंटर ने यह साबित किया था।
कैंटर को पता था कि प्राकृतिक संख्याएं - यानी, पूर्ण, सकारात्मक संख्याएं जैसे 1, 4, 27, 56 और 15,687 - हमेशा के लिए चली जाती हैं। वे अनंत हैं, और वे वे भी हैं जो हम चीजों को गिनने के लिए उपयोग करते हैं, इसलिए उन्होंने उन्हें शैक्षिक कार्टूनिस्ट चार्ल्स फिशर कूपर के इतिहास, गणित और अन्य विषयों पर एक सहायक साइट के अनुसार, "गणना के रूप में अनंत" होने के रूप में परिभाषित किया।
अनगिनत अनंत संख्या के समूहों में कुछ दिलचस्प गुण हैं। उदाहरण के लिए, सम संख्याएँ (2, 4, 6, आदि) भी अनंत रूप से अनंत हैं। और जबकि उनमें से कई तकनीकी रूप से आधे हैं जैसे कि प्राकृतिक संख्याओं के पूर्ण सेट के साथ क्या है, वे अभी भी उसी तरह के अनंत हैं।
दूसरे शब्दों में, आप सभी सम संख्याओं और सभी प्राकृतिक संख्याओं को दो स्तंभों में एक साथ रख सकते हैं और दोनों कॉलम अनंत तक जाएंगे, लेकिन वे अनंत के समान "लंबाई" हैं। इसका मतलब है कि गणना योग्य अनंत का आधा अभी भी अनंत है।
लेकिन कैंटर की महान अंतर्दृष्टि यह महसूस करने के लिए थी कि संख्याओं के अन्य सेट थे जो बेशुमार अनंत थे। वास्तविक संख्याएँ - जिनमें प्राकृतिक संख्याओं के साथ-साथ अंश और अपरिमेय संख्याएँ जैसे पाई - प्राकृतिक संख्याओं की तुलना में अधिक अनंत हैं। (यदि आप जानना चाहते हैं कि कैंटर ने यह कैसे किया और कुछ गणितीय संकेतन से निपट सकते हैं, तो आप मेन विश्वविद्यालय से इस वर्कशीट की जांच कर सकते हैं।)
यदि आप सभी प्राकृतिक संख्याओं और सभी वास्तविक संख्याओं को दो स्तंभों में एक साथ रखना चाहते हैं, तो वास्तविक संख्याएं प्राकृतिक संख्याओं के अनंत से आगे बढ़ेंगी। कूपर के अनुसार, कैंटर बाद में पागल हो गया था, शायद अनंत पर अपने काम के लिए असंबंधित।
क्या है गिनती?
तो, अतीत की अनंतता की गिनती के सवाल पर वापस जाएं। "आप जो गणित पूछते हैं, वह यह है कि 'वास्तव में इसका क्या मतलब है?" "अतीत की अनंतता को गिनने से क्या मतलब है?"
इस मुद्दे पर पहुंचने के लिए, टौसनर ने क्रमिक संख्याओं के बारे में बात की। कार्डिनल नंबर (1, 2, 3 और इसी तरह) के विपरीत, जो आपको बताते हैं कि एक सेट में कितनी चीजें हैं, अध्यादेश उनके पदों (पहले, दूसरे, तीसरे, आदि) द्वारा परिभाषित किए गए हैं, और उन्हें गणित द्वारा भी पेश किया गया था। कैंटर, गणित वेबसाइट वोल्फ्राम मैथवर्ल्ड के अनुसार।
ऑर्डिनल संख्याओं में एक अवधारणा है जिसे ओमेगा कहा जाता है, जिसे ग्रीक अक्षर T द्वारा निरूपित किया गया है, टॉन्सनर ने कहा। प्रतीक all को उस चीज़ के रूप में परिभाषित किया जाता है जो अन्य सभी प्राकृतिक संख्याओं के बाद आती है - या, जैसा कि कैंटर ने कहा है, पहला ट्रांसफ़ेक्ट ऑर्डिनल।
लेकिन संख्याओं के बारे में एक बात यह है कि आप हमेशा एक दूसरे को जोड़ सकते हैं, टॉसनर ने कहा। तो ω + 1, और and + 2 और यहां तक कि ω + ω जैसी कोई चीज नहीं है। (यदि आप सोच रहे हैं, तो आप अंततः ,1 नामक एक संख्या को हिट करते हैं, जिसे पहले बेशुमार अध्यादेश के रूप में जाना जाता है)
और चूंकि गिनती अतिरिक्त संख्याओं को जोड़ने की तरह है, ये अवधारणाएं एक तरह से आपको पिछली अनंतता को गिनने की अनुमति देती हैं, टॉन्सनर ने कहा।
उन्होंने कहा कि यह सब इस कारण से है कि गणितज्ञ अपनी शर्तों को सख्ती से परिभाषित करने पर जोर देते हैं। जब तक सब कुछ क्रम में नहीं होता है, तब तक हमारे सामान्य मानव अंतर्ज्ञान को गणितीय रूप से सिद्ध किया जा सकता है, इसे अलग करना मुश्किल है।
"गणित आपको बता रहा है, 'गहराई से आत्मनिरीक्षण करें, गिनती क्या है?" टौसनर ने कहा।
हमारे लिए केवल नश्वर, ये विचार पूरी तरह से गणना करने के लिए कठिन हो सकते हैं। काम करने वाले गणितज्ञ अपने दिन-प्रतिदिन के शोध में इस मज़ेदार व्यवसाय से कैसे निपटते हैं?
"यह बहुत अभ्यास है," टौसनर ने कहा। "आप एक्सपोज़र के साथ नए अंतर्ज्ञान विकसित करते हैं, और जब अंतर्ज्ञान विफल हो जाता है, तो आप कह सकते हैं, 'हम इस सटीक चरण-दर-चरण कठोर प्रमाण के बारे में बात कर रहे हैं।" इसलिए अगर यह प्रमाण आश्चर्यजनक है, तो हम अभी भी जांच कर सकते हैं कि यह सही है, और फिर उसके आसपास एक नया अंतर्ज्ञान विकसित करना सीखें। "
