आइए हम ब्रह्मांड की प्रकृति के बारे में चर्चा करें। एक पूरे के रूप में ब्रह्मांड के बारे में एक बातचीत में जा रहे हैं, आप इस तरह के तारकीय पतन, गांगेय टकराव, कणों के साथ अजीब घटनाओं, और यहां तक कि ऊर्जा के प्रस्फुटन विस्फोट जैसी चमत्कारिक घटनाओं से भरी कहानी की कल्पना करेंगे। हो सकता है कि बिग बैंग से शुरू होने और आपको यहां तक पहुंचाने में आपकी कहानी समय की चौड़ाई बढ़ाने वाली कहानी की उम्मीद कर रही हो, आपकी आंखें आपकी स्क्रीन से उत्सर्जित होने वाले फोटोन में भिगो दें। बेशक, कहानी भव्य है। लेकिन घटनाओं के इस अद्भुत वर्गीकरण के लिए एक अतिरिक्त पक्ष है कि बार-बार अनदेखी की जाती है; जब तक आप वास्तव में समझने की कोशिश नहीं करेंगे कि क्या हो रहा है। उन सभी शानदार अहसास के पीछे, काम का एक तंत्र है जो हमें उन सभी को खोजने की अनुमति देता है जिनके बारे में जानने में आपको आनंद आता है। वह तंत्र गणित है, और इसके बिना ब्रह्मांड अभी भी अंधेरे में डूबा रहेगा। इस लेख में, मैं आपको यह समझाने का प्रयास करूंगा कि गणित कुछ मनमाना और कभी-कभी व्यर्थ का मानसिक कार्य नहीं है जिसे समाज इसे करने के लिए कहता है, और इसके बजाय आपको दिखाता है कि यह एक ऐसी भाषा है जिसका उपयोग हम सितारों के साथ संवाद करने के लिए करते हैं।
वर्तमान में हम अपने सौर मंडल के लिए बाध्य हैं। यह कथन वास्तव में जितना अच्छा लगता है, उससे बेहतर है, क्योंकि हमारे सौर मंडल से बंधे होने के कारण हमारे ग्रह से बस एक बड़ा कदम है, जैसा कि हम थे
कुछ बहुत ही महत्वपूर्ण दिमागों को स्वर्ग की ओर अपने जीनियस को चुनने से पहले। गैलीलियो जैसे लोगों से पहले, जिन्होंने आकाश के प्रति अपने जासूस का लक्ष्य रखा, या केपलर ने खोज की कि ग्रह सूर्य के बारे में ग्रहणों में चलते हैं, या न्यूटन ने एक गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक की खोज की, गणित कुछ सीमित था, और ब्रह्मांड के बारे में हमारी समझ अज्ञानी थी। इसके मूल में, गणित अपने सौर मंडल से जुड़ी प्रजातियों को एक डेस्क के पीछे से ब्रह्मांड की गहराई की जांच करने की अनुमति देता है। अब, आश्चर्य की सराहना करने के लिए कि गणित है, हमें पहले कदम रखना चाहिए और संक्षेप में इसकी शुरुआत को देखना चाहिए और यह कैसे हमारे अस्तित्व में एकीकृत होता है।
गणित लगभग निश्चित रूप से बहुत प्रारंभिक मानव जनजातियों (बेबीलोनियन संस्कृति के बारे में आया है, जिसे रिकॉर्ड किए गए इतिहास में पहले संगठित गणित में से कुछ के लिए जिम्मेदार ठहराया गया है), जिसने गणित को चंद्र या सौर चक्रों का ट्रैक रखने और गिनती रखने के तरीके के रूप में इस्तेमाल किया हो सकता है नेताओं द्वारा जानवरों, भोजन और / या लोग। यह उतना ही स्वाभाविक है जब आप एक छोटे बच्चे हैं और आप देख सकते हैं कि आपके पास है
एक खिलौना प्लस एक अन्य खिलौना, जिसका अर्थ है कि आपके पास एक से अधिक खिलौने हैं। जैसे-जैसे आप बड़े होते हैं, आप उस 1 + 1 = 2 को देखने की क्षमता विकसित करते हैं, और इस तरह से साधारण अंकगणित हमारे स्वभाव में अंतरविरोधी लगते हैं। वे जो यह अनुमान लगाते हैं कि उनके पास गणित के लिए मन नहीं है, वे दुखी हैं, क्योंकि जिस तरह हम सभी का सांस लेने, या पलक झपकने का मन है, हम सभी के पास अंकगणित को समझने की यह सहज क्षमता है। गणित एक प्राकृतिक घटना और मानव डिजाइन प्रणाली दोनों है। ऐसा प्रतीत होता है कि प्रकृति हमें अंकगणित के रूप में पैटर्न को पहचानने की इस क्षमता को अनुदान देती है, और फिर हम व्यवस्थित रूप से अधिक जटिल गणितीय प्रणालियों का निर्माण करते हैं जो प्रकृति में स्पष्ट नहीं हैं, लेकिन हमें प्रकृति के साथ आगे संवाद करने दें।
यह सब एक तरफ, गणित ने मानव विकास के साथ-साथ विकसित किया, और प्रत्येक संस्कृति के साथ समान रूप से किया गया जो इसे एक साथ विकसित कर रहा था। यह देखने के लिए एक अद्भुत अवलोकन है कि जिन संस्कृतियों का एक दूसरे से कोई संपर्क नहीं था वे बिना बातचीत के समान गणितीय निर्माणों का विकास कर रहे थे। हालाँकि, यह तब तक नहीं था जब तक मानव जाति ने अपने गणितीय आश्चर्य को आकाश की ओर नहीं मोड़ लिया था कि गणित वास्तव में आश्चर्यजनक तरीके से विकसित होना शुरू हो गया था। यह केवल एक संयोग नहीं है कि हमारी वैज्ञानिक क्रांति को और अधिक उन्नत गणित के विकास के द्वारा प्रेरित किया गया था, जो कि भेड़ या लोगों को बाँधने के लिए नहीं, बल्कि ब्रह्मांड के भीतर हमारी जगह की समझ को आगे बढ़ाने के लिए बनाया गया था। एक बार गैलीलियो ने दरों को मापना शुरू कर दिया, जिस पर वस्तुएं गणितीय रूप से यह दिखाने की कोशिश में गिर गईं कि किसी वस्तु का द्रव्यमान उस गति के साथ बहुत कम था, जिसमें मानव जाति का भविष्य हमेशा के लिए बदल जाएगा।
यह वह जगह है जहाँ ब्रह्मांडीय परिप्रेक्ष्य हमारे संबंध में हमारे गणितीय ज्ञान को आगे बढ़ाना चाहते हैं। यदि यह गणित के लिए नहीं होता, तो हम अभी भी सोचते होंगे कि हम कुछ ग्रहों में से एक थे जो एक स्टार की तरह प्रतीत होने वाली गतिहीन रोशनी की पृष्ठभूमि में परिक्रमा कर रहे थे। आज जो हम जानते हैं, उसकी तुलना में यह आज का अधिक स्पष्ट दृष्टिकोण है
हम जिस विशाल ब्रह्मांड में रहते हैं, उसके बारे में। ब्रह्मांड के इस विचार से हमें गणित के बारे में और अधिक समझने के लिए प्रेरित किया जा सकता है कि कैसे जोहान केप्लर ने ग्रहों का अवलोकन करते हुए इसका उपयोग किया, और फिर एक काफी सटीक मॉडल विकसित करने के लिए गणित को लागू किया (और सौर मंडल के ग्रहों की गति की भविष्यवाणी के लिए विधि)। यह कई प्रदर्शनों में से एक है जो हमारे इतिहास के भीतर गणित के महत्व को चित्रित करता है, विशेष रूप से खगोल विज्ञान और भौतिकी के भीतर।
गणित की कहानी और भी आश्चर्यजनक हो जाती है क्योंकि हम सबसे उन्नत विचारकों में से एक को आगे बढ़ाते हैं जिसे मानवता ने कभी जाना है। सर आइजैक न्यूटन, जब हैली के धूमकेतु की गति को इंगित करते हैं, तो यह पता चला कि गणित का उपयोग इस प्रकार किया गया था कि भौतिक रूप से बड़े पैमाने पर गति का वर्णन करने के लिए
शरीर, बस पर्याप्त नहीं होगा यदि हम कभी भी हमारे सीमित सीमित खगोलीय नुक्कड़ से परे कुछ भी समझने के लिए थे। शुद्ध प्रतिभा के एक शो में, जो मेरे पहले के बयान की वैधता को दर्शाता है कि हम स्वाभाविक रूप से क्या ले सकते हैं और फिर उस पर एक और अधिक जटिल प्रणाली का निर्माण कर सकते हैं, न्यूटन ने पथरी को विकसित किया, जिसमें चलती निकायों के पास पहुंचने का यह तरीका, वह सटीक रूप से सक्षम था न केवल हैली के धूमकेतु, बल्कि किसी अन्य स्वर्गीय पिंड की गति को भी आकाश में घुमाएं।
एक पल में, हमारा पूरा ब्रह्मांड हमारे सामने खुल गया, हमारे लिए लगभग असीमित क्षमताओं को अनलॉक करने के लिए ब्रह्मांड के साथ पहले जैसा नहीं था। न्यूटन ने भी विस्तार किया कि केप्लर ने क्या शुरू किया। न्यूटन ने माना कि केपलर का ग्रहों की गति के लिए गणितीय समीकरण, केप्लर का तीसरा नियम (P)2= एक3 ), विशुद्ध रूप से अनुभवजन्य अवलोकन पर आधारित था, और केवल यह मापने के लिए था कि हमने अपने सौर मंडल के भीतर क्या मनाया। न्यूटन की गणितीय प्रतिभा यह महसूस करने में थी कि इस बुनियादी समीकरण को समीकरण के लिए एक गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक बनाकर सार्वभौमिक बनाया जा सकता है, जिसमें संभवतः मानव जाति द्वारा व्युत्पन्न किए जाने वाले सबसे महत्वपूर्ण समीकरणों में से एक को जन्म दिया गया है; केप्लर के तीसरे नियम का न्यूटन संस्करण
न्यूटन ने महसूस किया कि जब गैर-रेखीय तरीकों से चीजें चलती हैं, तो मूल बीजगणित का उपयोग करने से सही उत्तर नहीं मिलेगा। इसमें बीजगणित और कैलकुलस के बीच मुख्य अंतरों में से एक है। बीजगणित एक को सीधी रेखाओं के ढलान (परिवर्तन की दर) (निरंतर परिवर्तन की दर) को खोजने की अनुमति देता है, जबकि कैलकुलस किसी को घुमावदार रेखाओं (परिवर्तन की परिवर्तनशील दर) की ढलान खोजने की अनुमति देता है। स्पष्ट रूप से कैलकुलस के कई और अधिक अनुप्रयोग हैं, लेकिन मैं केवल यह बताने के लिए कि यह नई अवधारणा कितनी क्रांतिकारी थी, दोनों के बीच एक बुनियादी अंतर को दर्शा रहा हूँ। सभी एक बार, ग्रहों और अन्य वस्तुओं की गति जो सूर्य की परिक्रमा करते हैं, अधिक सटीक रूप से औसत दर्जे का हो गया, और इस तरह हमने ब्रह्मांड को थोड़ा गहराई से समझने की क्षमता प्राप्त की। केप्लर के थर्ड लॉ के नेटवॉन के संस्करण का जिक्र करते हुए, हम अब इस अविश्वसनीय भौतिकी समीकरण को लगभग किसी भी चीज़ में लागू करने में सक्षम (और अभी भी) कर रहे हैं जो किसी और चीज़ की परिक्रमा कर रहा है। इस समीकरण से, हम दोनों वस्तुओं के द्रव्यमान को निर्धारित कर सकते हैं, एक-दूसरे से दूरी के अलावा, गुरुत्वाकर्षण बल जो दोनों के बीच फैला है, और इन सरल गणनाओं से निर्मित अन्य भौतिक गुण हैं।
गणित की अपनी समझ के साथ, न्यूटन ब्रह्मांड में सभी वस्तुओं के लिए पूर्वोक्त गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक प्राप्त करने में सक्षम था (G = 6.672 × 10-11 एन एम2 किलोग्राम-2 )। इस स्थिरांक ने उन्हें खगोल विज्ञान और भौतिकी को एकजुट करने की अनुमति दी, जिसने तब ब्रह्मांड में चीजों को कैसे स्थानांतरित किया, इसके बारे में भविष्यवाणियों की अनुमति दी। अब हम ग्रहों के द्रव्यमान (और सूर्य) को अधिक सटीक रूप से माप सकते हैं, बस न्यूटनियन भौतिकी के अनुसार (जिसे नाम देना महत्वपूर्ण है कि न्यूटन भौतिकी और गणित में कितना महत्वपूर्ण था)। अब हम इस नई भाषा को कॉस्मॉस पर लागू कर सकते हैं, और इसके रहस्यों को समझने के लिए इस पर जोर देना शुरू कर सकते हैं। यह मानवता के लिए एक निर्णायक क्षण था, उन सभी चीजों में, जिन्होंने गणित के इस नए रूप से पहले हमारी समझ को निषिद्ध कर दिया था, अब हमारी उंगलियों पर थे, जो खोजे जाने के लिए तैयार थे। यह कैलकुलस को समझने की प्रतिभा है, जिसमें आप सितारों की भाषा बोल रहे हैं।
शायद उस शक्ति का कोई बेहतर चित्रण नहीं है जो गणित ने हमें ग्रह नेपच्यून की खोज में प्रदान किया। 1846 के सितंबर में इसकी खोज तक, ग्रहों को बस कुछ "सितारों" को देखकर खोजा गया था जो अन्य सभी सितारों की पृष्ठभूमि के खिलाफ अजीब तरीके से चल रहे थे। ग्रह शब्द "वांडरर" के लिए ग्रीक है, जिसमें ये अजीबोगरीब सितारे साल के अलग-अलग समय में आकाश में ध्यान देने योग्य पैटर्न में घूमते हैं। एक बार गैलीलियो द्वारा दूरबीन को पहली बार आकाश की ओर ऊपर की ओर घुमाया गया था, इन भटकने वालों ने दूसरी दुनिया में हल किया जो कि उनकी तरह दिखाई देता था। यदि वास्तव में, इनमें से कुछ जगहें स्वयं सौर मंडल प्रतीत होती हैं, जैसा कि गैलीलियो ने पाया कि जब उन्होंने बृहस्पति के चंद्रमाओं को रिकॉर्ड करना शुरू किया, तो उन्होंने इसके चारों ओर परिक्रमा की।
न्यूटन ने अपने भौतिकी के समीकरणों को दुनिया के सामने पेश करने के बाद, गणितज्ञ तैयार थे और उन्हें लागू करने के लिए उत्साहित थे जो हम वर्षों से ट्रैक कर रहे थे। यह ऐसा था जैसे हम ज्ञान के प्यासे थे, और अंत में किसी ने नल को चालू कर दिया। हमने ग्रहों की गति को मापना शुरू किया और उनके व्यवहार के बारे में अधिक सटीक मॉडल प्राप्त किए। हमने सूर्य के द्रव्यमान का अनुमान लगाने के लिए इन समीकरणों का उपयोग किया। हम उल्लेखनीय भविष्यवाणियां करने में सक्षम थे जो समय और फिर से अवलोकन द्वारा मान्य थे। हम जो कर रहे थे वह अभूतपूर्व था, क्योंकि हम गणित का उपयोग कर रहे थे कि भविष्यवाणियों को जानने के लिए लगभग असंभव बना दिया गया था। आपको लगता है कि हम वास्तव में इन ग्रहों पर जा रहे बिना नहीं बना सकते थे, और फिर गणित को सही साबित करने के लिए वास्तविक अवलोकन का उपयोग कर रहे थे। हालाँकि, हमने जो कुछ भी किया वह कुछ चीजों के साथ कुछ विषम विसंगतियों का पता लगाने के लिए शुरू किया गया था। उदाहरण के लिए, यूरेनस ऐसा व्यवहार नहीं कर रहा था जैसा कि न्यूटन के नियमों के अनुसार करना चाहिए।
नेप्च्यून की खोज को इतना अद्भुत क्या बनाता है जिस तरीके से इसे खोजा गया था। न्यूटन ने जो कुछ किया था, वह ब्रह्मांड की एक गहरी भाषा को उजागर कर रहा था, जिसमें ब्रह्मांड हमारे लिए अधिक प्रकट करने में सक्षम था। और ठीक ऐसा ही तब हुआ जब हमने इस भाषा को यूरेनस की कक्षा में लागू किया। जिस तरह से यूरेनस ने परिक्रमा की थी, वह उत्सुक था और यह फिट नहीं था कि क्या होना चाहिए अगर यह एकमात्र ग्रह था जो सूरज से बहुत दूर था। संख्याओं को देखते हुए, वहाँ कुछ और होना चाहिए था, जिससे उसकी कक्षा की परिक्रमा हो रही थी। अब, न्यूटन के गणितीय अंतर्दृष्टि और कानूनों से पहले, हमारे पास किसी भी चीज पर संदेह करने का कोई कारण नहीं था जो हमने देखा था। यूरेनस ने जिस तरह से यूरेनस की परिक्रमा की थी, उस तरह से परिक्रमा की; यह कैसा था। लेकिन, फिर से यह बताते हुए कि गणित की धारणा ब्रह्मांड के साथ एक बढ़ती हुई बातचीत है, एक बार जब हमने सही प्रारूप में प्रश्न पूछा, तो हमने महसूस किया कि वास्तव में हमें जो देखना चाहिए उससे परे कुछ और होना चाहिए। यह गणित के बड़े लेख की सुंदरता है; ब्रह्मांड के साथ चल रही बातचीत जिसमें हम उम्मीद कर सकते हैं की तुलना में अधिक है।
यह एक फ्रांसीसी गणितज्ञ उरबैन ले वेरियर के पास आया, जो युरेनस की कक्षा के गणितीय समीकरणों के माध्यम से काम करते थे और श्रमसाध्य रूप से बैठते थे। जब वह न्यूटन के गणितीय समीकरणों का उपयोग कर रहा था, तो यह महसूस करते हुए कि यूरेनस की कक्षा से परे एक वस्तु होनी चाहिए जो सूर्य की भी परिक्रमा कर रही थी,
और फिर सही द्रव्यमान और दूरी को लागू करने के लिए देख रहे हैं कि इस अनदेखी वस्तु को यूरेनस की कक्षा के चक्कर लगाने के लिए आवश्यक था जिस तरह से हम देख रहे थे। यह अभूतपूर्व था, जैसा कि हम एक ग्रह को खोजने के लिए चर्मपत्र और स्याही का उपयोग कर रहे थे जो किसी ने भी वास्तव में नहीं देखा था। उसने पाया कि नेपच्यून के लिए एक वस्तु, जल्द ही सूर्य से एक विशेष दूरी पर परिक्रमा करनी थी, उस विशिष्ट द्रव्यमान के साथ जो यूरेनस के कक्षीय पथ में अनियमितताओं का कारण होगा। अपने गणितीय गणनाओं के प्रति आश्वस्त, उन्होंने अपने नंबर को न्यू बर्लिन ऑब्जर्वेटरी में ले गए, जहां खगोलशास्त्री जोहान गॉटफ्रीड गाले ने बिल्कुल वही देखा, जहां वेरियर की गणना ने उन्हें देखने के लिए कहा था, और वहां हमारे सौर मंडल के 8 वें और अंतिम ग्रह को रखा, 1 डिग्री से कम जहां से वेरियर की गणना ने उसे देखने के लिए कहा। जो कुछ हुआ था, वह न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण सिद्धांत की एक अविश्वसनीय पुष्टि थी और साबित किया कि उसका गणित सही था।
इस प्रकार की गणितीय अंतर्दृष्टि न्यूटन के बहुत बाद तक जारी रही। आखिरकार, हमने बेहतर तकनीक के आगमन (गणित में प्रगति के बारे में) के साथ ब्रह्मांड के बारे में बहुत कुछ सीखना शुरू किया। जैसे ही हम 20 वीं सदी में आए, क्वांटम सिद्धांत आकार लेने लगा, और हमें जल्द ही एहसास हुआ कि न्यूटनियन भौतिकी और गणित ने क्वांटम स्तर पर जो कुछ भी देखा, उस पर कोई असर नहीं पड़ा। मानव इतिहास में एक और महत्वपूर्ण घटना में, फिर से गणित में उन्नति द्वारा फिर से लाया गया, अल्बर्ट आइंस्टीन ने सामान्य और विशेष सापेक्षता के अपने सिद्धांतों का अनावरण किया, जो न केवल गुरुत्वाकर्षण को देखने का एक नया तरीका था, बल्कि
ऊर्जा और सामान्य रूप से ब्रह्मांड पर भी। आइंस्टीन के गणित ने हमारे लिए ब्रह्मांड के साथ एक और भी गहन संवाद को फिर से उजागर करने की अनुमति दी, जिसमें हम अपनी उत्पत्ति को समझने लगे।
हमारी समझ को आगे बढ़ाने की इस प्रवृत्ति को जारी रखते हुए, हमने जो महसूस किया है वह यह है कि अब भौतिकी के दो संप्रदाय हैं जो पूरी तरह से संरेखित नहीं हैं। न्यूटोनियन या "क्लासिकल" भौतिकी, जो बहुत बड़े (ग्रहों, आकाशगंगाओं आदि की गतियों) के साथ असाधारण रूप से अच्छी तरह से काम करती है। और क्वांटम भौतिकी जो बहुत छोटे (उप-परमाणु कणों, प्रकाश, आदि की बातचीत) को समझाती है। वर्तमान में, भौतिकी के ये दो क्षेत्र संरेखण में नहीं हैं, बहुत कुछ भाषा की दो अलग-अलग बोलियों की तरह। वे समान हैं और वे दोनों काम करते हैं, लेकिन वे आसानी से एक दूसरे के साथ सामंजस्य नहीं रखते हैं। आज हमारे सामने जो सबसे बड़ी चुनौतियां हैं, उनमें से एक गणितीय भव्य "हर चीज का सिद्धांत" बनाने का प्रयास है जो या तो मैक्रोस्कोपिक दुनिया के साथ क्वांटम दुनिया में कानूनों को एकजुट करती है, या क्वांटम यांत्रिकी के संदर्भ में पूरी तरह से सब कुछ समझाने के लिए काम करती है। यह कोई आसान काम नहीं है, लेकिन फिर भी हम आगे बढ़ने का प्रयास कर रहे हैं।
जैसा कि आप देख सकते हैं, गणित अस्पष्ट समीकरणों और जटिल नियमों के एक सेट से अधिक है जिन्हें आपको याद रखना आवश्यक है। गणित ब्रह्मांड की भाषा है, और इस भाषा को सीखने में, आप अपने आप को मुख्य तंत्र खोल रहे हैं जिसके द्वारा ब्रह्मांड संचालित होता है। यह एक नई भूमि की यात्रा के समान है, और धीरे-धीरे मूल भाषा को उठा रहा है ताकि आप उनसे सीखना शुरू कर सकें। यह गणितीय प्रयास वह है जो हमें, हमारे सौर मंडल से जुड़ी प्रजाति, ब्रह्मांड की गहराई का पता लगाने की अनुमति देता है। अब तक, हमारे लिए अपनी आकाशगंगा के केंद्र की यात्रा करने और वहां मौजूद सुपरमैसिव ब्लैक होल का निरीक्षण करने का कोई तरीका नहीं है, ताकि हम इसके अस्तित्व की पुष्टि कर सकें। हमारे लिए डार्क नेबुला में उद्यम करने और वास्तविक समय में एक स्टार के पैदा होने का कोई रास्ता नहीं है। फिर भी, गणित के माध्यम से, हम यह समझने में सक्षम हैं कि ये चीजें कैसे मौजूद हैं और काम करती हैं। जब आप गणित सीखने के बारे में सेट करते हैं, तो आप न केवल अपने दिमाग का विस्तार कर रहे हैं, बल्कि आप एक मौलिक स्तर पर ब्रह्मांड के साथ जुड़ रहे हैं। आप अपने डेस्क से, ब्लैक होल के घटना क्षितिज पर भयानक भौतिकी का पता लगा सकते हैं, या सुपरनोवा के पीछे विनाशकारी रोष का गवाह बन सकते हैं। इस लेख की शुरुआत में उन सभी बातों का उल्लेख किया गया है जो गणित के माध्यम से ध्यान में आती हैं। ब्रह्मांड की भव्य कहानी गणित में लिखी गई है, और उन संख्याओं को उन घटनाओं में अनुवाद करने की हमारी क्षमता है जिनके बारे में जानने के लिए हम सभी को प्यार करना अद्भुत से कम नहीं है। इसलिए याद रखें, जब आपको गणित सीखने का अवसर प्रदान किया जाता है, तो इसके हर बिट को स्वीकार करें क्योंकि गणित हमें सितारों से जोड़ता है।
