गणितज्ञ एज क्लोजर 'मिलियन डॉलर' मैथ प्रॉब्लम को सॉल्व करने के लिए

क्या गणितज्ञों की एक टीम ने गणित में 160 साल पुराने, मिलियन-डॉलर के सवाल का जवाब देने की दिशा में एक बड़ा कदम उठाया?

शायद। चालक दल ने नंबर थ्योरी नामक क्षेत्र में कई अन्य छोटे प्रश्नों को हल किया। और ऐसा करने में, उन्होंने एक पुराने एवेन्यू को फिर से खोल दिया है जो अंततः पुराने प्रश्न का उत्तर दे सकता है: क्या रीमैन की परिकल्पना सही है?

रीमैन परिकल्पना एक मौलिक गणितीय अनुमान है जिसमें गणित के बाकी हिस्सों के लिए विशाल निहितार्थ हैं। यह कई अन्य गणितीय विचारों के लिए आधार बनाता है - लेकिन कोई नहीं जानता कि क्या यह सच है। इसकी वैधता गणित में सबसे प्रसिद्ध खुले प्रश्नों में से एक बन गई है। यह सात "मिलेनियम प्रॉब्लम्स" में से एक है जो 2000 में रखी गई थी, इस वादे के साथ कि जो कोई भी उन्हें हल करेगा, वह $ 1 मिलियन जीतेगा। (समस्याओं में से केवल एक को हल किया गया है।)

यह विचार कहां से आया?

1859 में वापस, बर्नहार्ड रीमैन नामक एक जर्मन गणितज्ञ ने विशेष रूप से कांटेदार गणित समीकरण के उत्तर का प्रस्ताव दिया। उनकी परिकल्पना इस तरह से है: रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के प्रत्येक गैर-तुच्छ शून्य का वास्तविक हिस्सा 1/2 है. यह एक बहुत ही सारगर्भित गणितीय कथन है, उस फ़ंक्शन को शून्य बनाने के लिए आप एक विशेष गणितीय कार्य में क्या संख्याएँ डाल सकते हैं। लेकिन यह एक बहुत बड़ी बात है, सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि आप कितनी बार प्राइम नंबर का सामना करेंगे, जैसा कि आप अनंत की ओर देखते हैं।

हम बाद में परिकल्पना के विवरण पर वापस आएंगे। लेकिन अब यह जानना महत्वपूर्ण है कि अगर रीमैन की परिकल्पना सच है, तो यह गणित में बहुत सारे सवालों के जवाब देता है।

"अक्सर संख्या सिद्धांत में, क्या हो रहा है समाप्त होता है अगर आप रीमैन परिकल्पना मान रहे हैं, तो आप ओहियो के ओबेरिन कॉलेज के एक नंबर सिद्धांतकार लोला थॉम्पसन, जो शामिल नहीं थे, के सभी प्रकार के अन्य परिणाम साबित करने में सक्षम हैं।" इस नवीनतम शोध में, कहा।

अक्सर, उसने लाइव साइंस से कहा, संख्या सिद्धांतकार पहले साबित करेंगे कि कुछ सच है अगर रीमैन की परिकल्पना सच है। फिर वे उस प्रमाण को एक अधिक जटिल प्रमाण की ओर बढ़ते हुए पत्थर की तरह इस्तेमाल करेंगे, जिससे पता चलता है कि उनका मूल निष्कर्ष सत्य है या नहीं, रीमान की परिकल्पना सत्य है।

तथ्य यह है कि यह चाल काम करती है, उसने कहा, कई गणितज्ञों को आश्वस्त करता है कि रीमैन की परिकल्पना सच होनी चाहिए।

लेकिन सच्चाई यह है कि कोई भी निश्चित रूप से नहीं जानता है।

एक सबूत की ओर एक छोटा कदम?

तो गणितज्ञों की यह छोटी सी टीम हमें समाधान के करीब लाने के लिए कैसे लगी?

एमोरी यूनिवर्सिटी के एक नंबर सिद्धांतकार और नए प्रमाण के सह-लेखक केन ओनो ने कहा, "हमने अपने पेपर में क्या किया है," क्या हम एक बहुत ही तकनीकी मानदंड पर पुनर्विचार करते हैं, जो रीमैन परिकल्पना के बराबर है ... और हमने एक बड़ा साबित किया इसका हिस्सा। हमने इस मानदंड का एक बड़ा हिस्सा साबित किया। "

इस मामले में एक "मानदंड जो रीमैन परिकल्पना के बराबर है," इस मामले में एक अलग बयान को संदर्भित करता है जो गणितीय रूप से रीमैन परिकल्पना के बराबर है।

पहली नज़र में यह स्पष्ट नहीं है कि दोनों बयान इतने जुड़े हुए क्यों हैं। (कसौटी का कुछ ऐसा करना है, जिसे "जेनसेन बहुपद की हाइपरबोलसिटी कहा जाता है।") लेकिन 1920 के दशक में, जॉर्ज पोलिया नामक एक हंगेरियन गणितज्ञ ने यह साबित कर दिया कि यदि यह मानदंड सत्य है, तो रीम की परिकल्पना सत्य है - और इसके विपरीत। यह परिकल्पना सिद्ध करने की दिशा में एक पुराना प्रस्तावित मार्ग है, लेकिन एक जिसे काफी हद तक छोड़ दिया गया था।

ओनो और उनके सहयोगियों ने 21 मई को प्रोसीडिंग्स ऑफ द नेचुरल एकेडमी ऑफ साइंसेज (PNAS) के जर्नल में प्रकाशित एक पेपर में साबित किया कि कई मामलों में, कई मामलों में, कसौटी सत्य है।

लेकिन गणित में, कई प्रमाण के रूप में गिनती करने के लिए पर्याप्त नहीं है। अभी भी कुछ मामले हैं जहां उन्हें नहीं पता है कि मानदंड सही है या गलत।

ओनो ने कहा, "यह एक मिलियन-नंबर पॉवरबॉल खेलने जैसा है।" "और आप सभी संख्याओं को जानते हैं, लेकिन अंतिम 20। यदि उन अंतिम 20 संख्याओं में से एक भी गलत है, तो आप हार जाते हैं। यह अभी भी सभी गिर सकता है।"

शोधकर्ताओं को यह दिखाने के लिए और भी अधिक उन्नत प्रमाण के साथ आने की आवश्यकता होगी कि सभी मामलों में कसौटी सही है, जिससे रीमैन की परिकल्पना सिद्ध होती है। और यह स्पष्ट नहीं है कि इस तरह के प्रमाण कितने दूर हैं, ओनो ने कहा।

तो, यह कागज कितना बड़ा सौदा है?

रीमैन परिकल्पना के संदर्भ में, यह कहना मुश्किल है कि यह कितना बड़ा सौदा है। आगे क्या होता है, इस पर बहुत कुछ निर्भर करता है।

थॉम्पसन ने कहा, "यह रीमैन परिकल्पना के कई समकक्ष योगों में से एक है।"

दूसरे शब्दों में, बहुत सारे अन्य विचार हैं जो इस कसौटी की तरह साबित होते हैं कि यदि वे स्वयं सिद्ध होते हैं तो रीमैन की परिकल्पना सच है।

"तो, यह जानना बहुत मुश्किल है कि यह कितनी प्रगति है, क्योंकि एक तरफ यह इस दिशा में प्रगति कर रहा है। लेकिन, बहुत सारे समकक्ष सूत्र हैं कि शायद यह दिशा रीमैन परिकल्पना का उत्पादन करने वाली नहीं है। शायद एक भी। इसके बजाय अन्य समकक्ष प्रमेय, अगर कोई उनमें से एक को साबित कर सकता है, "थॉम्पसन ने कहा।

यदि सबूत इस ट्रैक के साथ बदल जाता है, तो इसका मतलब ओनो और उसके सहयोगियों ने रीमैन परिकल्पना को हल करने के लिए एक महत्वपूर्ण अंतर्निहित रूपरेखा विकसित की है। लेकिन अगर यह कहीं और बदल जाता है, तो यह पेपर कम महत्वपूर्ण हो जाएगा।

फिर भी, गणितज्ञ प्रभावित हैं।

"हालांकि यह रीमैन परिकल्पना को साबित करने से बहुत दूर है, यह एक बड़ा कदम है," एक प्रिंसटन नंबर सिद्धांतकार, जो कि टीम के शोध में शामिल नहीं था, एनरिको बॉम्बेरी ने 23 मई के पीएनएएस लेख के साथ लिखा था। "इसमें कोई संदेह नहीं है कि यह पेपर संख्या सिद्धांत के अन्य क्षेत्रों में और साथ ही गणितीय भौतिकी में आगे के मौलिक कार्यों को प्रेरित करेगा।"

(बॉम्बिएरी ने फील्ड्स मेडल जीता - गणित में सबसे प्रतिष्ठित पुरस्कार - 1974 में, रीमैन परिकल्पना से संबंधित काम के लिए बड़े हिस्से में।)

वैसे भी रीमान की परिकल्पना का क्या अर्थ है?

मैंने वादा किया था कि हम इस पर वापस लौटेंगे। यहां फिर से रीमैन की परिकल्पना है: रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के प्रत्येक गैर-तुच्छ शून्य का वास्तविक हिस्सा 1/2 है.

आइए बताते हैं कि थॉम्पसन और ओनो ने इसे कैसे समझाया।

सबसे पहले, रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन क्या है?

गणित में, एक फ़ंक्शन विभिन्न गणितीय मात्राओं के बीच एक संबंध है। एक साधारण व्यक्ति इस तरह दिख सकता है: y = 2x।

रीमान ज़ेटा फ़ंक्शन समान मूल सिद्धांतों का पालन करता है। केवल यह बहुत अधिक जटिल है। यहाँ यह कैसा दिखता है।

यह एक अनंत अनुक्रम का योग है, जहां प्रत्येक शब्द - पहले कुछ 1/1 ^ s, 1/2 ^ s और 1/3 ^ s - पिछले शब्दों में जोड़ा जाता है। उन दीर्घवृत्त का मतलब है कि फ़ंक्शन में श्रृंखला हमेशा की तरह चलती रहती है।

अब हम दूसरे प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं: रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन का एक शून्य क्या है?

यह आसान है। फ़ंक्शन का "शून्य" वह संख्या है जिसे आप x के लिए डाल सकते हैं जो फ़ंक्शन को समान शून्य का कारण बनता है।

अगला प्रश्न: उन शून्य में से एक का "वास्तविक भाग" क्या है, और इसका क्या अर्थ है कि यह 1/2 के बराबर है?

रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन में गणितज्ञ "जटिल संख्या" कहते हैं। एक जटिल संख्या इस तरह दिखती है: a + b * i।

उस समीकरण में, "ए" और "बी" किसी भी वास्तविक संख्या के लिए खड़े होते हैं। एक वास्तविक संख्या शून्य से 3, शून्य से 4.9234, पीआई या 1 बिलियन तक कुछ भी हो सकती है। लेकिन दूसरी तरह की संख्या है: काल्पनिक संख्या। जब आप एक ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल लेते हैं तो काल्पनिक संख्याएं उभरती हैं, और वे सभी प्रकार के गणितीय संदर्भों में दिखाई देती हैं।

सबसे सरल काल्पनिक संख्या -1 का वर्गमूल है, जिसे "i" लिखा जाता है। एक जटिल संख्या एक वास्तविक संख्या ("ए") है दूसरी वास्तविक संख्या ("बी") बार। एक जटिल संख्या का "वास्तविक हिस्सा" यह है कि "ए।"

रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के कुछ शून्य, -10 और 0 के बीच नकारात्मक पूर्णांक, रीमैन की परिकल्पना के लिए गणना नहीं करते हैं। इन्हें "तुच्छ" शून्य माना जाता है क्योंकि वे वास्तविक संख्या हैं, जटिल संख्या नहीं। अन्य सभी शून्य "गैर-तुच्छ" और जटिल संख्याएं हैं।

रीमैन की परिकल्पना में कहा गया है कि जब रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन शून्य को पार करता है (-10 और 0 के बीच उन शून्य को छोड़कर), तो जटिल संख्या का वास्तविक भाग 1/2 के बराबर होता है।

यह छोटा सा दावा शायद बहुत महत्वपूर्ण न लगे। लकिन यह है। और हम इसे हल करने के लिए सिर्फ एक किशोर सा हो सकते हैं।